Основные вероятностные характеристики шумов в управляемом объекте

В реальных системах n – мерные плотности распределения могут быть получены для случайного процесса x(t) лишь с помощью сложной и трудоемкой обработки множества реализаций случайного процесса. Расчеты, связанные с применением n – мерной плотности распределения также сложны и громоздки. Однако многие практическое задачи можно решить, принимая вместо n – мерной плотности распределения более простые характеристики случайного процесса, а именно – средние значения: среднее по множеству или математическое ожидание и среднее по времени.

Средние значения приближенно характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени. Связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени x(t1) и x(t2) может быть приближенно оценена средним значением их произведения x(t1)x(t2), называемым корреляционной или автокорреляционной функцией Kx(t1,t2), которая вычисляется по формуле:

(2.52)

Для стационарного случайного процесса w2 зависит лишь от t = t2 – t1 :

(2.53)

В качестве характеристики связи между значениями двух случайных процессов x(t1) и y(t2) соответственно можно ввести взаимную корреляционную функцию:

(2.54)

Если x(t1) и y(t2) – стационарны и притом стационарно связаны, то:

(2.55)

Автокорреляционная функция является мерой взаимозависимости отдельных значений случайного сигнала. Из выражения (2.52) и (2.53) следует, что автокорреляционная функция зависит от математического ожидания сигнала. Если же анализируется только отклонение от среднего, то функция (2.53) переходит в автоковариационную функцию:

(2.56)

При t = 0 выражение (5) дает дисперсию сигнала:

(2.57)

представляющую собой меру разброса значений случайного сигнала вокруг математического ожидания.

Степень взаимозависимости двух случайных сигналов определяется взаимной ковариационной функцией:

(2.58)

Белый шум отличается от случайных сигналов других типов тем, что его текущее значение не зависит от всех предшествующих. Поскольку внутренняя взаимосвязь между значениями белого шума отсутствует, то в случае, когда его амплитуда распределена по нормальному закону, он полностью описывается математическим ожиданием mx и его ковариационной функцией:

(2.59)

где δ(τ) – функция Кронекера, определяемая следующим образом:

(2.60)

Как было показано выше, системы с пропорциональным и ПД управлением не могут удовлетворительно работать при воздействии шумов. Это можно объяснить постоянством коэффициентов обратных связей, величина которых при появлении в системе шумов оказывается недостаточной. Для успешного управления объектом при наличии шумов рациональнее будет использовать методы и подходы аналитической теории оптимальных фильтров и регуляторов, основанные на представлении системы в пространстве состояний.

Таким образом, задача фильтрации будет состоять в оценивании вектора состояний линейной системы. В общем случае эта задача называется линейным оцениванием с минимальной среднеквадратической ошибкой или линейной фильтрацией.

Другое по теме:

Определение годовых объёмов работ и их распределение
Нормативы трудоемкостей технических воздействий должны быть скорректированы для конкретных условий с помощью коэффициентов корректирования. Годовой объем работ по каждому виду технического обслуживания равен , (15) где ti, tH- соответс ...

Расход электроэнергии на разгон поезда
, где Vx ходовая скорость принимается не выше 50 км/ч; lp - среднее расстояние между разгонами, здесь O- число остановок на участке, Общий объем расхода электроэнергии на один поездо-км,Эо, Вт.ч, Эо =1,02*(Эп +Эр), где 1,02 - ко ...

Построение картины зацепления двух колес
Исходные данные: z1=z*=27, z2=z**=15, m=4 мм. Расчет корригированного неравномерного зацепления. Определяем шаг по делительной окружности Определяем радиальный зазори Подсчитываем коэффициенты сдвига инструментальной рейки Подсчи ...